Question

【題目】已知橢圓： 的左焦點為，上頂點為，長軸長為，為直線：上的動點，，.當時，與重合.

（1）若橢圓的方程；

（2）若直線交橢圓于，兩點，若，求的值.

Answer 1

【答案】(1)(2) m＝±1

【解析】試題分析：（1）根據題意得到由AF⊥BF得kAF·kBF＝-1，進而求出橢圓方程；（2）由AP⊥AQ得，|AM|2＝|PM|·|QM|，聯立直線BM和橢圓得到二次方程，由韋達定理得到|PM|·|QM|的表達式，|AM|2＝2＋，兩式相等即可.

解析：

（Ⅰ）依題意得A(0，b)，F(－c，0)，當AB⊥l時，B(－3，b)，

由AF⊥BF得kAF·kBF＝ ·＝－1，又b2＋c2＝6.

解得c＝2，b＝．

所以，橢圓Γ的方程為＋＝1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得A(0，)，依題意，顯然m≠0，所以kAM＝－，

又AM⊥BM，所以kBM＝，所以直線BM的方程為y＝ (x－m)，

設P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

y＝ (x－m)與＋＝1聯立得(2＋3m2)x2－6m3x＋3m4－12＝0，

x1＋x2＝，x1x2＝．

|PM|·|QM|＝(1＋)|(x1－m)(x2－m)|

＝(1＋)|x1x2－m(x1＋x2)＋m2|

＝(1＋)·

＝，

|AM|2＝2＋m2，

由AP⊥AQ得，|AM|2＝|PM|·|QM|，

所以＝1，解得m＝±1．