Question

（本題滿分10分）《選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程》

在直接坐標(biāo)系xOy中，直線的方程為x-y+4=0，曲線C的參數(shù)方程為

（1）已知在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，判斷點(diǎn)P與直線的位置關(guān)系；

（2）設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個動點(diǎn)，求它到直線的距離的最小值．

 

Answer 1

【答案】

(1)點(diǎn)P在直線上；(2)當(dāng)時，d取得最小值，且最小值為。

【解析】

試題分析：（1）由曲線C的參數(shù)方程為 ，知曲線C的普通方程，再由點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(4， )，知點(diǎn)P的普通坐標(biāo)為（4cos ，4sin ），即（0，4），由此能判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系．

（2）由Q在曲線C： 上，（0°≤α＜360°），知Q( cosα，sinα)到直線l：x-y+4=0的距離d= |2sin(α+θ)+4|，（0°≤α＜360°），由此能求出Q到直線l的距離的最小值

解：(1)把極坐標(biāo)系下的點(diǎn)化為直角坐標(biāo)，得P（0，4）。

因?yàn)辄c(diǎn)P的直角坐標(biāo)（0，4）滿足直線的方程，

所以點(diǎn)P在直線上，

(2)因?yàn)辄c(diǎn)Q在曲線C上，故可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，

從而點(diǎn)Q到直線的距離為

由此得，當(dāng)時，d取得最小值，且最小值為

考點(diǎn)：本試題主要考查了橢圓的參數(shù)方程和點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意參數(shù)方程與普通方程的互化，注意三角函數(shù)的合理運(yùn)用．

點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是參數(shù)方程與普通方程的互化以及對于點(diǎn)到直線距離公式的靈活運(yùn)用求解最值。