Question

【題目】已知橢圓過點，過右焦點且垂直于軸的直線截橢圓所得弦長是1．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設點分別是橢圓的左，右頂點，過點的直線與橢圓交于兩點（與不重合），證明：直線和直線交點的橫坐標為定值．

Answer 1

【答案】（1）橢圓的標準方程是；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）由已知可知，點及點在橢圓上，代入，由即可解得則橢圓方程可求；（2）由（1）知點，設，聯立方程，消去得，

進而得到，設直線聯立方程，解得，將，可得，即直線和直線交點的橫坐標為定值4．

試題解析：（1）由題知，解得，故橢圓的標準方程是

（2）由（1）知點，設，聯立方程，消去得，

所以則直線聯立方程，消去得．

解得因為，所以，即，所以，即直線和直線交點的橫坐標為定值4．