Question

【題目】已知函數.

（1）當時,求函數在上的最大值和最小值；

（2）設,且對于任意的,試比較與的大小.

Answer 1

【答案】（1）的最大值為，的最小值為；（2）

【解析】

試題分析：（1）當時，，且，,討論函數在區間上的單調性與極值，與兩端點值比較即可求其最大值與最小值；（2）因為，所以的最小值為,設的兩個根為，則,不妨設，則，所以有即，令,求導討論函數的單調性可得，即，可證結論成立.

試題解析：（1）當時，，且，

．

由，得；由，得，

所以函數在上單調遞增；函數在上單調遞減，

所以函數在區間僅有極大值點，故這個極大值點也是最大值點，

故函數在上的最大值是，

又，

故，故函數在上的最小值為．

（Ⅱ）由題意，函數f（x）在x=1處取到最小值，

又

設的兩個根為，則

不妨設，

則在單調遞減，在單調遞增，故，

又，所以，即，即

令，則令，得,

當時，在上單調遞增；

當x時，在（）上單調遞減；

因為

故，即，即.