Question

一個口袋中裝有大小相同的n個紅球（n≥5且n∈N）和5個白球，每次從中任取兩個球，當兩個球的顏色不同時，則規定為中獎．
（1）試用n表示一次取球中獎的概率p；
（2）記從口袋中三次取球（每次取球后全部放回）恰有一次中獎的概率為m，求m的最大值；
（3）在（Ⅱ）的條件下，當m取得最大值時將5個白球全部取出后，對剩下的n個紅球作如下標記：記上i號的有i個（i=1，2，3，4）），其余的紅球記上0號，現從袋中任取一球，X表示所取球的標號，求X的分布列、期望．

Answer 1

分析：（1）用古典概型求解即可．分母為從n+5任取兩個，有C_n+5²種方法，分子為兩個球的顏色不同的方法有C_n¹C₅¹種；
（2）每次取球后全部放回，故為獨立重復試驗，按照獨立重復試驗的概率就解出概率，看作p的函數，利用導數求最值，并求出對應的n 即可；
（3）X的取值為0，1，2，3，4，利用古典概型分別求出概率，列出分布列，求期望即可．

解答：解：（1）每次從n+5任取兩個，有C_n+5²種方法．
它們是等可能的，其中兩個球的顏色不同的方法有C_n¹C₅¹種，
一次取球中獎的概率為p=

C 1 n C 1 5

C 2 n+5

=

10n

(n+5)(n+4)

．
（2）設每次取球中獎的概率為p次取球中恰有一次中獎的概率是：
m=P₃（1）=C₃¹•p•（1-p）²=3p³-6p²+3p（0＜p＜1
p數m'=9p²-12p+3=3（p-1）（3p-1）．
•因而m(0，

1

3

)上為增函數，m(

1

3

，1)上為減函數．
∴當p=

1

3

，即

10n

(n+5)(n+4)

=

1

3

，n=20，mmax=

4

9

（3）由（Ⅱ）知：紅球共20個，則記上0的有10球，從中任取一球，有20法，它們是等可能的．故X的分布列是：
E(X)=0×

1

2

+1×

1

20

+2×

1

10

+3×

3

20

+4×

1

5

=

3

2

．

點評：本題考查古典概型、獨立重復試驗的概率、利用導數求最值、離散型隨機變量及分布列、期望等知識，綜合性較強．