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【題目】三角形的三邊長是成等差數列的正整數，其最長邊不大于正整數時的三角形個數記為（凡全等的三角形只算1個）.寫出，，，，再找出的計算公式.

【答案】見解析

【解析】

當，2，3時，只有公差為0的正三角形，，，.

當時，除公差為0，邊長分別為1，2，3，4的正三角形外，還有公差為1的整邊三角形（2，3，4），有.

一般地，邊長不大于、三邊長成等差數列的整邊三角形個數為，當最大邊長增加到時，新增加的三角形三邊長可設為，，，其中是公差.由組成三角形的條件知，兩短邊之和應大于最長邊，有，.

因為、為整數，有，.

這里表示不超過的最大整數.

當取遍0，1，2，…，時，每一類公差為的三角形都在原有基礎上增加一個，共增加個三角形，得遞推關系有

評析：直接用可省去中間過程.

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	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
K	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（，其中）

抗倒伏數據如下：

143 147 147 151 153 153 157 159 160 164 166 169 174 175 175

180 188 188 192 195 195 199 203 206 206

易倒伏數據如下：

151 167 175 178 181 182 186 186 187 190 190 193 194 195 198

199 199 202 202 203

（1）完成 2×2 列聯表，并說明能否在犯錯概率不超過0.01的條件下認為抗倒伏是否與玉米矮莖有關?

（2）（i）按照分層抽樣的方式，在上述樣本中，從易倒伏和抗倒伏兩組中抽出9株玉米，再從這9株中取出兩株進行雜交試驗，設取出的易倒伏玉米株數為X，求X的分布列（概率用組合數算式表示）；

（ii）若將頻率視為概率，從抗倒伏的玉米試驗田中再隨機取出50株，求取出的高莖玉米株數的數學期望和方差.

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