Question

已知雙曲線C的漸近線為y=±

3

x且過點M（1，

2

）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線y=ax+1與雙曲線C相交于A，B兩點，O為坐標原點，若OA與OB垂直，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可知：雙曲線的焦點在x軸上，可設方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，進而得到

b a = 3 1 a2 - 2 b2 =1

，解出即可；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立

y=ax+1 3x2-y2=1

，消去y可化為關于x的一元二次方程，可得△＞0及其根與系數的關系；由

OA

⊥

OB

，可得

OA

•

OB

=0，代入解出即可．

解答：解：（1）由題意可知：雙曲線的焦點在x軸上，可設方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
則

b a = 3 1 a2 - 2 b2 =1

，解得

a2= 1 3 b2=1

，
∴雙曲線C的方程為3x²-y²=1．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立

y=ax+1 3x2-y2=1

，化為（3-a²）x²-2ax-2=0，（3-a²≠0）．
∵直線y=ax+1與雙曲線C相交于A，B兩點，∴△=4a²+8（3-a²）＞0，化為a²＜6．
∴x1+x2=

2a

3-a2

，x1x2=

-2

3-a2

．（*）
∵

OA

⊥

OB

，∴

OA

•

OB

=0．
∴x₁x₂+y₁y₂=0，又y₁=ax₁+1，y₂=ax₂+1，
∴（1+a²）x₁x₂+a（x₁+x₂）+1=0，
把（*）代入上式得

-2(1+a2)

3-a2

+

2a2

3-a2

+1=0，
化為a²=1．滿足△＞0．
∴a=±1．

點評：本題中考查了雙曲線的標準方程及其性質、直線與雙曲線相交問題轉化為關于一個未知數的一元二次二次方程點到△＞0及其根與系數的關系、

OA

⊥

OB

?

OA

•

OB

=0等基礎知識與基本技能，考查了推理能力、計算能力．