Question

關于x的不等式

.

x+a 2 1 x

.

＜0的解集為（-1，b）．
（1）求實數a、b的值；
（2）若z₁=a+bi，z₂=cosα+isinα，且z₁z₂為純虛數，求

3sinα-2cosα

2sinα-cosα

的值．

Answer 1

分析：（1）原不等式即為x（x+a）-2＜0，-1，b是方程x（x+a）-2=0 的兩根，利用韋達定理求解．
（2）根據復數的分類，z₁z₂=（-1+2i）（cosα+isinα）=-（cosα+2sinα ）+（-sinα+2cosα）i 實部為0，虛部不為0，得出sinα．cosα的關系，并代入求解．

解答：解：（1）原不等式即為x（x+a）-2＜0，x²+ax-2＜0，因為解集為（-1，b）．
∴

-1+b=-a -b=-2

解得a=-1，b=2
（2）z₁z₂=（-1+2i）（cosα+isinα）=-（cosα+2sinα ）+（-sinα+2cosα）i．∵且z₁z₂為純虛數，∴

-(cosα+2sinα)=0 -sinα +2cosα≠0

∴cosα=-2sinα，
∴原式=

7

4

點評：本題考查不等式的解，復數的分類，三角函數式求值，屬于基礎知識，基本方法的總和靈活應用．