Question

【題目】如圖，有一塊平行四邊形綠地，經測量百米，百米，，擬過線段上一點設計一條直路（點在四邊形的邊上，不計路的寬度），將綠地分成兩部分，且右邊面積是左邊面積的3倍，設百米，百米．

（1）當點與點重合時，試確定點的位置；

（2）試求的值，使路的長度最短．

Answer 1

【答案】（1）是的中點；（2）當（百米）時，路最短為（百米）．

【解析】

試題分析：（1）只要利用面積公式求面積可得，先求得平行四邊形的面積，然后求得的面積（用表示），利用它們的面積關系可得值，知是中點；（2）為了求的長，要分類，分在邊上和在上，前者利用面積求得，由余弦定理求得，由基本不等式得最小值，后者同樣利用面積關系求得，在梯形中求腰長（可分類和），由二次函數性質得最小值比較后得結論．

試題解析：（1）平行四邊形的面積為，當點與點重合時，，

∵，∴（百米），∴是的中點．

（2）①當點在上時，∵，∴ ，

在三角形中，，

∴，當且僅當時取等號．

此時在中點處且與重合，符合題意；

②當點在上時，

∵，∴，

I．當時，過作交于，

在中，，由余弦定理得；

II．當，過作交于，

在中，，由余弦定理得；

由I、II可得

∴當時，，

此時在的八等分點（靠近）處且（百米），符合題意；

∴由①②可知，當（百米）時，路最短為（百米）