Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性.

（2）是否存在實數，對任意的，且，恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.

（2）

【解析】

（1）先求導函數得，再討論的符合即可得函數的單調性；

（2）將不等式變形為，再構造函數，則原命題等價于在上單調遞減，再利用導數求解即可.

解：（1）因為，

所以.

當時，恒成立，故在上單調遞增；

當時，令，得；令，得.

所以在上單調遞減，在上單調遞增.

綜上，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.

（2）因為對任意的且，恒成立，

不妨設，則，即，

設，則在上單調遞減，即，

所以對于恒成立.

所以對于恒成立，

令，則，

即，解得.

所以，存在，對任意的且，恒成立.