Question

已知橢圓C:的離心率為,長軸長為.
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)若直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn),試問：在y軸正半軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M滿足,若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由．

Answer 1

（I）.（II）存在點(diǎn)滿足.

試題分析：（I）利用橢圓的幾何性質(zhì)得.
（II）通過研究時(shí)，可知滿足條件，若所求的定點(diǎn)M存在，則一定是P點(diǎn).
證明就是滿足條件的定點(diǎn).
將直線方程與橢圓方程聯(lián)立并整理，應(yīng)用韋達(dá)定理，將用坐標(biāo)表示，根據(jù)
得到使的點(diǎn).
試題解析：（I）由題意得，              2分
解得                3分
橢圓的方程為.                4分
（II）當(dāng)時(shí)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
設(shè)y軸上一點(diǎn),滿足, 即，
∴解得或（舍），
則可知滿足條件，若所求的定點(diǎn)M存在，則一定是P點(diǎn).        6分
下面證明就是滿足條件的定點(diǎn).
設(shè)直線交橢圓于點(diǎn),.
由題意聯(lián)立方程       8分
由韋達(dá)定理得，             9分

∴

            11分
∴，即在y軸正半軸上存在定點(diǎn)滿足條件.       12分
解法2：
設(shè)y軸上一點(diǎn),滿足, 即，        5分
設(shè)直線交橢圓于點(diǎn), .
由題意聯(lián)立方程       7分
由韋達(dá)定理得，             8分

∴

           10分
整理得，
由對任意k都成立，得
且
解得                                   11分
所以存在點(diǎn)滿足.                12分