Question

由曲線y=x²與x=y²所圍成的曲邊形的面積為

1

3

．

Answer 1

分析：由題意，可作出兩個曲線y=x²與x=y²的圖象，由圖象知陰影部分即為所求的面積，本題可用積分求陰影部分的面積，先求出兩曲線交點A的坐標，根據曲線確定出被積函數

x?

-x2與積分區間[0，1]，計算出定積分的值，即可出面積曲線y²=x，y=x²所圍成圖形的面積．

解答：解：作出如圖的圖象…（2分）
聯立

y2=x y=x2

 解得

x=0 y=0

，

x=1 y=1

…（5分）
即點O（0，0），A（1，1）．
故所求面積為：
S=

∫

1 0

(

x

-x2)dx
=(

2

3

x

3

2

- 

1

3

x3)

|

1 0

=

2

3

-

1

3

=

1

3

…（10分）
所以所圍成圖形的面積S=

1

3

．
故答案為：

1

3

．

點評：本題考查了定積分在求面積中的應用，解題的關鍵是確定出被積函數與積分區間，熟練掌握積分的運算．