Question

設數列{a_n}的前n項和為Sn，且S_n=4a_n-p，其中p是不為零的常數．
（1）證明：數列{a_n}是等比數列；
（2）當p=3時，若數列{b_n}滿足b_n+1=b_n+a_n（n∈N^*），b₁=2，求數列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）通過S_n=4a_n-p，利用a_n=S_n-S_n-1，求出an=

4

3

an-1，利用等比數列的定義證明數列{a_n}是等比數列；
（2）當p=3時，若數列{b_n}滿足b_n+1=b_n+a_n（n∈N^*），b₁=2，推出bn+1-bn=(

4

3

)n-1，利用b_n=b₁+（b₂-b_′1）+（b₃-b₂）++（b_n-b_n-1），求數列{b_n}的通項公式．

解答：證明：（1）證：因為S_n=4a_n-p（n∈N^*），則S_n-1=4a_n-1-p（n∈N^*，n≥2），
所以當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=4a_n-4a_n-1，整理得an=

4

3

an-1．（5分）
由S_n=4a_n-p，令n=1，得a₁=4a₁-p，解得a1=

p

3

．
所以a_n是首項為

p

3

，公比為

4

3

的等比數列．（7分）
（2）解：因為a₁=1，則an=(

4

3

)n-1，
由b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，），得bn+1-bn=(

4

3

)n-1，（9分）
當n≥2時，由累加得b_n=b₁+（b₂-b_′1）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=2+

1-( 4 3 )n-1

1- 4 3

=3(

4

3

)n-1-1，
當n=1時，上式也成立．（14分）

點評：本題是中檔題，考查數列的通項公式的應用，等比數列的證明，注意利用a_n=S_n-S_n-1時，必須驗證n=1的情形，否則容易出錯誤．