Question

（2010•石家莊二模）已知動圓M經過點G（0，-1），且與圓Q：x²+（y-1）²=8內切．
（Ⅰ）求動圓M的圓心的軌跡E的方程．
（Ⅱ）以m=(1，

2

)為方向向量的直線l交曲線E于不同的兩點A、B，在曲線E上是否存在點P使四邊形OAPB為平行四邊形（O為坐標原點）．若存在，求出所有的P點的坐標與直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）依題意，動圓與定圓相內切，得|MG|+|MQ|=2

2

，可知M到兩個定點G、Q的距離和為常數，根據橢圓的定義即可求得動點M（x，y）的軌跡E的方程；
（Ⅱ）假設存在在曲線E上是否存在點P使四邊形OAPB為平行四邊形，設出直線l的方程，聯立直線和橢圓方程，利用平行四邊形的充要條件結合韋達定理即可得出結論．

解答：解：（Ⅰ）依題意，點G（0，-1）在圓Q：x²+（y-1）²=8內部，
動圓與定圓相內切，且動圓在定圓內部，
∴得|MG|+|MQ|=2

2

，
可知M到兩個定點G、Q的距離和為常數，并且常數大于|GQ|，所以P點的軌跡為橢圓，可以求得a=

2

，c=1，b=1，
所以曲線E的方程為x2+

y2

2

=1．…5分
（Ⅱ）假設E上存在點P，使四邊形OAPB為平行四邊形．
由 （Ⅰ）可知曲線E的方程為x2+

y2

2

=1．
設直線l的方程為y=

2

x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

y= 2 x+m x2+ y2 2 =1.

，得4x2+2

2

mx+m2-2=0，
由△＞0得m²＜4，且x1+x2=-

2 m

2

，x1x2=

m2-2

4

，…7分
則y1y2=(

2

x1+m)(

2

x2+m)=

m2-2

2

，y₁+y₂=(

2

x1+m)+(

2

x2+m)=m，E上的點P使四邊形OAPB為平行四邊形的充要條件是

OP

=

OA

+

OB

，
即P點的坐標為（x₁+x₂，y₁+y₂）
且(x1+x2)2+

(y1+y2)2

2

=1，
又x12+

y12

2

=1，x22+

y22

2

=1，所以可得2x₁x₂+y₁y₂+1=0，…9分
可得m²=1，即m=1或m=-1．
當m=1時，P(-

2

2

，1)，直線l方程為y=

2

x+1；
當m=-1時，P(

2

2

，-1)，直線l方程為y=

2

x-1．  12分．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法，