Question

21.如圖，P－ABC是底面邊長為1的正三棱錐，D、E、F分別為棱PA、PB、PC上的點，截面DEF∥底面ABC，且棱臺DEF－ABC與棱錐P－ABC的棱長和相等.(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)

(1)證明：P－ABC為正四面體；

(2)若PD=PA，求二面角D－BC－A的大�。�(結果用反三角函數值表示)

(3)設棱臺DEF－ABC的體積為V，是否存在體積為V且各棱長均相等的平行六面體，使得它與棱臺DEF－ABC有相同的棱長和？若存在，請具體構造出這樣的一個直平行六面體，并給出證明；若不存在，請說明理由.

Answer 1

21. [證明] (1)∵棱錐P－ABC與棱臺DEF－ABC的棱長和相等，

∴DE+EF+FD=PD+PE+PF.

又∵截面DEF∥底面ABC，

∴DE=EF=FD=PD=PE=PF，∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°,

∴P－ABC為正四面體.

[解](2)取BC的中點M，連接PM、DM、AM.

∵BC⊥PM，BC⊥AM，∴BC⊥平面PAM，BC⊥DM，

則∠DMA為二面角D－BC－A的平面角.

由(1)知，P－ABC的各棱長均為1，

∴PM=AM=.由D是PA的中點，得sinDMA==,

∴∠DMA=arcsin.

(3)存在滿足條件的直平行六面體.

棱臺DEF－ABC的棱長和為定值6，體積為V.

設直平行六面體的棱長均為，底面相鄰兩邊夾角為α，則該六面體棱長和為12×=6,體積為sinα=V.

∵正四面體P－ABC的體積是，∴0＜V＜,0＜8V＜1.

可知α=arcsin(8V).

故構造棱長均為，底面相鄰兩邊夾角為arcsin(8V)的直平行六面體，即滿足要求.