Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，若過且傾斜角為的直線交于，兩點(diǎn)，滿足.

（1）求拋物線的方程；

（2）若為上動點(diǎn)，，在軸上，圓內(nèi)切于，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求出拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)出直線的方程，代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和拋物線的定義，可得，進(jìn)而得到拋物線方程；（2）設(shè)，，，不妨設(shè)，直線的方程為，由直線與圓相切的條件：，化簡整理，結(jié)合韋達(dá)定理以及三角形的面積公式，運(yùn)用基本不等式即可求得最小值.

（1）拋物線的焦點(diǎn)為，

則過點(diǎn)且斜率為1的直線方程為，

聯(lián)立拋物線方程，

消去得：，

設(shè)，則，

由拋物線的定義可得，解得，

所以拋物線的方程為

（2）設(shè)，，，

不妨設(shè)，

化簡得：，

圓心到直線的距離為1，

故，

即，不難發(fā)現(xiàn)，

上式又可化為，

同理有，

所以可以看做關(guān)于的一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，

，，

由條件：

，

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.

∴面積的最小值為8.