Question

已知函數f(x)=lnx+ax+1,a∈R.
(1)求f(x)在x=1處的切線方程.
(2)若不等式f(x)≤0恒成立,求a的取值范圍.

Answer 1

(1) y=(a+1)x   (2) (-∞,-1]

(1)∵x>0,f'(x)=+a,
∴f'(1)=a+1,切點是(1,a+1),
所以切線方程為y-(a+1)=(a+1)(x-1),
即y=(a+1)x.
(2)方法一:∵x>0,f'(x)=.
①當a≥0時,x∈(0,+∞),f'(x)>0,f(x)單調遞增,顯然當x>1時,f(x)>0,f(x)≤0不恒成立.
②當a<0時,x∈(0,-),f'(x)>0,f(x)單調遞增,
x∈(-,+∞),f'(x)<0,f(x)單調遞減,
∴f(x)_max=f(x)_極大值=f(-)=ln(-)≤0,
∴a≤-1,
所以不等式f(x)≤0恒成立時,a的取值范圍是(-∞,-1].
方法二:∵x>0,所以不等式f(x)≤0恒成立,等價于ax≤-lnx-1,即a≤,
令h(x)=,
則h'(x)=-+=,
當x∈(0,1)時,h'(x)<0,h(x)單調遞減,
當x∈(1,+∞)時,h'(x)>0,h(x)單調遞增.
∴h(x)_min=h(x)_極小值=h(1)=-1,∴a≤-1.
所以不等式f(x)≤0恒成立時,a的取值范圍是(-∞,-1].