【題目】如圖1，梯形
中，
，過
分別作
，
，垂足分別為
、
.
，
，已知
，將梯形沿
，
同側折起，得空間幾何體
，如圖2.
（1）若
，證明：
平面
；
（2）在（1）的條件下，若
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
（1）先證
平面
，得到
，結合
，可證得
平面
；
（2）以
，
，分別為
軸，
軸，
軸的正方向建立空間直角坐標系，求出面ADF與面ACF的法向量，利用夾角公式，求出兩法向量夾角的余弦值，由圖可知二面角
為銳角，則它的余弦值為正值，即可得到本題答案.
（1）由已知得四邊形是正方形，且邊長為2，
在圖2中，
，由已知得
，
，∴平面，
又
平面，∴，又，
，∴平面.
（2）在圖2中，由（1）知
，
，
兩兩垂直，
以
為坐標原點，以，，分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，
則
，
，
，
，
，
，
.設平面
的一個法向量為
，
由
得
，不妨取
，得
，
設平面
的一個法向量為
，
由
得
，取，得
，
.
由圖可得，二面角為銳角，所以它的余弦值為
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
．
（1）若
，
，求
的值域；
（2）當
時，求的最小值
；
（3）是否存在實數
、
，同時滿足下列條件：① 
；② 當的定義域為
時，其值域為
．若存在，求出、的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，平面
平面
，四邊形為正方形，△
為等邊三角形，
是
中點，平面
與棱
交于點
.
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求證：
平面
；
（III）記四棱錐
的體積為
，四棱錐的體積為
，直接寫出
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著科學技術的飛速發展，網絡也已經逐漸融入了人們的日常生活，網購作為一種新的消費方式，因其具有快捷、商品種類齊全、性價比高等優勢而深受廣大消費者認可.某網購公司統計了近五年在本公司網購的人數，得到如下的相關數據(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次類推；y表示人數)：
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y(萬人) | 20 | 50 | 100 | 150 | 180 |
（1）試根據表中的數據，求出y關于x的線性回歸方程，并預測到哪一年該公司的網購人數能超過300萬人；
（2）該公司為了吸引網購者，特別推出“玩網絡游戲，送免費購物券”活動，網購者可根據拋擲骰子的結果，操控微型遙控車在方格圖上行進. 若遙控車最終停在“勝利大本營”，則網購者可獲得免費購物券500元；若遙控車最終停在“失敗大本營”，則網購者可獲得免費購物券200元. 已知骰子出現奇數與偶數的概率都是
，方格圖上標有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遙控車開始在第0格，網購者每拋擲一次骰子，遙控車向前移動一次.若擲出奇數，遙控車向前移動一格（從
到
）若擲出偶數遙控車向前移動兩格（從到
），直到遙控車移到第19格勝利大本營）或第20格（失敗大本營）時，游戲結束。設遙控車移到第
格的概率為
，試證明
是等比數列，并求網購者參與游戲一次獲得免費購物券金額的期望值.
附：在線性回歸方程
中，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某地政府為改善居民的住房條件，集中建設一批經適樓房．用了1400萬元購買了一塊空地，規劃建設8幢樓，要求每幢樓的面積和層數等都一致，已知該經適房每幢樓每層建筑面積均為250平方米，第一層建筑費用是每平方米3000元，從第二層開始，每一層的建筑費用比其下面一層每平方米增加80元．
（1）若該經適樓房每幢樓共
層，總開發費用為
萬元，求函數的表達式（總開發費用=總建筑費用+購地費用）；
（2）要使該批經適房的每平方米的平均開發費用最低，每幢樓應建多少層？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著通識教育理念的推廣及高校課程改革的深入，選修課越來越受到人們的重視.國內一些知名院校在公共選修課的設置方面做了許多有益的探索，并且取得了一定的成果.因為選修課的課程建設處于探索階段，選修課的教學、管理還存在很多的問題，所以需要在通識教育的基礎上制定科學的、可行的解決方案，為學校選修課程的改革與創新、課程設置、考試考核、人才培養提供參考.某高校采用分層抽樣法抽取了數學專業的50名參加選修課與不參加選修課的學生的成績，統計數據如下表：
成績優秀 | 成績不夠優秀 | 總計 | |
參加選修課 | 16 | 9 | 25 |
不參加選修課 | 8 | 17 | 25 |
總計 | 24 | 26 | 50 |
（1）試運用獨立性檢驗的思想方法你能否有99%的把握認為“學生的成績優秀與是否參加選修課有關”，并說明理由；
（2）如果從數學專業隨機抽取5名學生，求抽到參加選修課的學生人數
的分布列和數學期望（將頻率當做概率計算）.
參考公式：
，其中
.
臨界值表：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于函數
，下列
個結論正確的是__________（把你認為正確的答案全部寫上）．
（1）任取
，都有
；
（2）函數
在
上單調遞增；
（3）
，對一切
恒成立；
（4）函數
有
個零點；
（5）若關于
的方程
有且只有兩個不同的實根
，
，則
.
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