Question

【題目】如圖，直棱柱中，分別是的中點(diǎn)，，

（1）證明：平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）連接AC1，交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1的中點(diǎn)，連接DF，則BC1∥DF，由此能證明BC1∥平面A1C．

（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB、CC1為x軸、y軸、z軸建立空間坐標(biāo)系C﹣xyz，利用向量法能求出二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．

（1）如圖，連接交于點(diǎn)F，則點(diǎn)F為的中點(diǎn)，連接.

因?yàn)?/span>D是的中點(diǎn)，

所以在中，是中位線，

所以.

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面.

（2）因?yàn)?/span>，

所以，即.

則以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，

則，，，

則，，.

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，

則，即，

取，則，，

則.

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，

則，即，

取，則，，

則.

所以，

所以，

即二面角的正弦值為.