Question

【題目】已知數列{bn}滿足bn=| |，其中a1=2，an+1= ．
（1）求b1 ， b2 ， b3 ， 并猜想bn的表達式（不必寫出證明過程）；
（2）由（1）寫出數列{bn}的前n項和Sn ， 并用數學歸納法證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1=2，an+1= ，∴ ， ，

又bn=| |，得b1=4，b2=8，b3=16，

猜想：

（2）解：由（1）可得，數列{bn}是以4為首項，2為公比的等比數列，

則有 ．

證明：當n=1時， 成立；

假設當n=k時，有 ，

則當n=k+1時， =2k+3﹣4=2（k+1）+2﹣4．

綜上， 成立

【解析】（1）由已知結合數列遞推式求得b1 ， b2 ， b3 ， 并猜想bn的表達式；（2）由等比數列的前n項和公式求得數列{bn}的前n項和Sn ， 并用數學歸納法證明．
【考點精析】關于本題考查的數列的前n項和和數學歸納法的定義，需要了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法才能得出正確答案．