Question

【題目】已知圓錐的側面展開圖是一個半圓．

（1）求圓錐的母線與底面所成的角；

（2）過底面中心且平行于母線的截平面，若截面與圓錐側面的交線是焦參數（焦點到準線的距離）為的拋物線，求圓錐的全面積；

（3）過底面點作垂直且于母線的截面，若截面與圓錐側面的交線是長軸為的橢圓，求橢圓的面積（橢圓號的面積）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據側面展開圖的特征列方程得出底面半徑和母線的關系，從而得出母線和底面所成的角；

（2）根據拋物線的一條弦為圓錐底面直徑得出底面半徑和的關系，從而可得圓錐的面積；

（3）根據三角形相似和圓錐的特點得出橢圓的長軸，短軸和底面半徑的關系，從而可得長短軸的關系，得出答案.

（1）設圓錐的底面半徑為，母線長為，則圓錐側面展開圖的半徑為，弧長為，

圓錐的側面展開圖是一個半圓，

，，

圓錐的軸截面為等邊三角形，

圓錐的母線與底面所成的角為；

（2）設拋物線的頂點為，

截面，

則為的中點，

設拋物線方程為，把代入拋物線方程得，

，于是母線，

又由（1）可知，即，，

圓錐的全面積為；

（3）設的中點為，則和為橢圓的長軸頂點，

取的中點，則為橢圓的中心，連接并延長，交于，過作，交圓錐底面圓周于，

則，即，

過作交于，由可知，又，

為靠近的三等分點，連接， ，

中，根據余弦定理

，

，，，

中，過點平行于的線段是，

，，即，

所以橢圓面積