Question

已知a>0，函數f(x)＝－2asin(2x＋)＋2a＋b，當x∈[0，]時，－5≤f(x)≤1．
(1)求常數a，b的值；
(2)設g(x)＝f(x＋)且lg[g(x)]>0，求g(x)的單調區間．

Answer 1

（1）a＝2，b＝－5
（2）綜上，g(x)的遞增區間為(kπ，kπ＋](k∈Z)；遞減區間為(kπ＋，kπ＋)(k∈Z)．

解：(1)∵x∈[0，]，
∴2x＋∈[，]．
∴sin(2x＋)∈[－，1]，
又∵a>0，
∴－2asin(2x＋)∈[－2a，a]．
∴f(x)∈[b,3a＋b]，
又∵－5≤f(x)≤1，
∴b＝－5,3a＋b＝1，
因此a＝2，b＝－5．
(2)由(1)得a＝2，b＝－5，
∴f(x)＝－4sin(2x＋)－1，
g(x)＝f(x＋)＝－4sin(2x＋)－1＝4sin(2x＋)－1，
又由lg[g(x)]>0，得g(x)>1，
∴4sin(2x＋)－1>1，
∴sin(2x＋)>，
∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，
其中當2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z時，g(x)單調遞增，即kπ<x≤kπ＋，k∈Z，
∴g(x)的單調增區間為(kπ，kπ＋]，k∈Z．
又∵當2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z時，g(x)單調遞減，
即kπ＋<x<kπ＋，k∈Z．
∴g(x)的單調減區間為(kπ＋，kπ＋)，k∈Z．
綜上，g(x)的遞增區間為(kπ，kπ＋](k∈Z)；遞減區間為(kπ＋，kπ＋)(k∈Z)．