Question

△ABC中，角A、B、C的對邊依次為a、b、c．已知a=3，b=4，外接圓半徑R=

5

2

，c邊長為整數，
（1）求∠A的大小（用反三角函數表示）；
（2）求邊長c；
（3）在AB、AC上分別有點D、E，線段DE將△ABC分成面積相等的兩部分，求線段DE長的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據正弦定理，利用a和外接圓半徑求得sinA，進而求得A．
（2）由（1）中的sinA，求得cosA，再利用余弦定理求得c．
（3）根據三邊的關系判斷三角形為直角三角形，進而根據三角形面積公式求得AD•AE的值，根據余弦定理的關系式，根據均值不等式求得DE的最小值．

解答：解：（1）

3

sinA

=2R=5，sinA=

3

5

又b＞a∴A為銳角，故A=arcsin

3

5

（2）cosA=

4

5

，由余弦定理得32=42+c2-2•4•c•

4

5

，即c2-

32

5

c+7=0
∴c=5或

7

5

但c為整數，∴c=5
（3）∵3²+4²=5²，∴∠C=90°設AD=x，AE=y，則

1

2

xysinA=

1

2

S△ABC=3
∴xy=10
DE2=x2+y2-2xy•

4

5

≥2xy-2xy•

4

5

=

2

5

xy=4
等號當且僅當x=y=

10

時成立
∴DE_min=2

點評：本題主要考查了正弦定理、余弦定理及三角形面積公式的運用．綜合考查了學生對解三角形問題的綜合把握．