Question

在銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，向量

m

=(1，cosB)，

n

=(sinB，-

3

)，且

m

⊥

n

．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC面積為

3 3

2

，3ac=25-b²，求a，c的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積運算，根據向量垂直建立方程，即可求得角B的大小；
（2）利用余弦定理，三角形的面積公式，可得a，c的關系，解方程組，即可求得結論．

解答：解：（1）∵

m

=(1，cosB)，

n

=(sinB，-

3

)
∴

m

•

n

=(1，cosB)•(sinB，-

3

)=1×sinB+cosB×(-

3

)=sinB-

3

cosB
∵

m

⊥

n

，∴

m

•

n

=0
∴sinB-

3

cosB=0…（2分）
∵△ABC為銳角三角形，∴cosB≠0…（3分）
∴tanB=

3

，…（4分）
∵0＜B＜

π

2

∴B=

π

3

．…（5分）
（2）由b²=a²+c²-2accosB，得b²=a²+c²-ac，…（6分）
代入3ac=25-b²得3ac=25-a²-c²+ac，得a+c=5．…（7分）
∵S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

ac×sin

π

3

=

3

4

ac…（9分）
由題設

3

4

ac=

3 3

2

，得ac=6…（10分）
聯立

a+c=5 ac=6

，
解得

a=2 c=3

，或

a=3 c=2

．…（12分）

點評：本小題主要考查向量數量積、三角特殊值的運算，三角函數的基本關系，解三角形1等知識，考查化歸與轉化、方程的數學思想方法，以及運算求解能力．