Question

【題目】已知點A（0，2），B（4，6）， =t1 +t2 ，其中t1、t2為實數；
（1）若點M在第二或第三象限，且t1=2，求t2的取值范圍；
（2）求證：當t1=1時，不論t2為何值，A、B、M三點共線；
（3）若t1=a2 ， ⊥ ，且△ABM的面積為12，求a和t2的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由A（0，2），B（4，6），

得 =（4，4），

∴ =t1 +t2 =（4t2，2t1+4t2），

又點M在第二象限或第三象限，

∴ ，

又t1=2，

解得t2＜0且t2≠﹣1，

∴t2的取值范圍是（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）

（2）證明：t1=1時，

=t1 +t2 = +t2 ，

∴ ﹣ =t2 ，

即 =t2 ，

∴不論t2為何值，A、B、M三點共線

（3）解：∵當t1=a2時， =（4t2，4t2+2a2），

又∵ =（4，4）， ⊥ ，

∴4t2×4+（4t2+2a2）×4=0，

∴t2=﹣ a2．

∴ =（﹣a2，a2）；

又∵| |=4 ，

點M到直線AB：x﹣y+2=0的距離為

d= = |a2﹣1|；

∵S△ABM=12，

∴ | |d= ×4 × |a2﹣1|=12，

解得a=±2，此時t2=﹣ a2=﹣1

【解析】（1）由題設條件，得 =（4t2 ， 2t1+4t2），又點M在第二象限或第三象限，列出不等式求出t2的取值范圍；（2）由平面向量的共線定理，得 =t2 ，能證明A，B，M三點共線；（3）由t1=a2表示出 、 ，利用 ⊥ 求出t2=﹣ a2 ， 再由S△ABM=12求出a的值和t2的值．
【考點精析】本題主要考查了平面向量的基本定理及其意義的相關知識點，需要掌握如果、是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量，有且只有一對實數、，使才能正確解答此題．