Question

（1）已知△ABC的頂點A（1，1），B（3，2），C（2，4），求△ABC的面積．
（2）若△ABC的頂點A在直線y=x上運動，頂點B（6，8），頂點C在線段y=2x （3≤x≤5）上運動，且A、C、B三點的橫坐標成等差數列，問△ABC的面積是否存在最大值？若存在求出最大值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由兩點間的距離公式可得，AB=

5

，BC=

5

，AC=

10

，可求三角形的面積
（2）由題意可設A（a，a），C（b，2b）（3≤b≤5），由A、C、B三點的橫坐標成等差數列可得2b=a+6及3≤b≤5可得0≤a≤4，C（

a+6

2

，a+6），而S_△ABC=S_△OAB+S_△OBC-S_△OAC=-

1

4

(a2-2a-24)=-

1

4

(a-1)2+

25

4

，結合二次函數的性質可求面積的最大值

解答：解：（1）由兩點間的距離公式可得，AB=

5

，BC=

5

，AC=

10

∴AB²+BC²=AC²即AB⊥BC
S△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

×

5

×

5

=

5

2

（2）由題意可設A（a，a），C（b，2b）（3≤b≤5）
A、C、B三點的橫坐標成等差數列可得2b=a+6
∴b=

a+6

2

且由3≤b≤5可得0≤a≤4即C（

a+6

2

，a+6）
設C，A到直線OB：y=

4

3

x的距離分別為h₁，h₂，點C到直線y=x的距離為h₃
則h1=

a+6

5

，h2=

a

5

，h3=

a+6

2 2

S_△ABC=S_△OAB+S_△OBC-S_△OAC
=

1

2

OB•(h1+h2)-

1

2

OA•h3=

1

2

×10×

2a+6

5

-

1

2

×

2

a× 

a+6

2 2

=-

1

4

(a2-2a-24)=-

1

4

(a-1)2+

25

4

當a=1時，S_△ABC的面積最大值

25

4

點評：本題主要考查了三角形的面積公式的應用，等差數列的性質的應用，解題（2）的關鍵是要準確表示出三角形的面積，結合二次函數的性質進行求解，