Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若不等式在時恒成立，求實數a的取值范圍；

（3）當時，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）[1，＋∞)；（3）證明見解析.

【解析】

（1）求導數可得，當時函數在上單調遞增；當時易得函數在上單調遞增，在上單調遞減；

（2）由（1）知當時，不等式在，時恒成立，當時，不等式不成立，綜合可得的范圍；

（3）由（2）的單調性易得，進而可得，，，，將上述式子相加可得結論．

解：（1）求導數可得，

當時，，函數在上單調遞增；

當時，由可得，

函數在上單調遞增，在上單調遞減；

（2）由（1）知當時，函數在上單調遞增，

，即不等式在時恒成立，

當時，函數在上單調遞減，

存在使得，

即不等式不成立，

綜上可知實數的取值范圍為，；

（3）由（2）得當時，不等式在時恒成立，

即，，．

即，

，，，，

將上述式子相加可得

原不等式得證．