Question

【題目】設橢圓，圓為.

（1）若橢圓的長軸為4，且焦距與橢圓的焦距相等，求橢圓的標準方程；

（2）過圓上任意一點作其切線，若與橢圓交于兩點，求證：為定值（為坐標原點）；

（3）在（2）的條件下，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）求出橢圓的焦距，可得橢圓的焦距，結合橢圓的長軸為4與性質，求出的值，討論兩種情況即可得結果；（2）當直線的斜率不存在時，.當直線的斜率存在時，設其方程為，與橢圓方程聯立 ，利用韋達定理，結合平面向量數量積的坐標表示可證明從而可得結果；（3）求得，要求的取值范圍，只需求出弦長的取值范圍.由弦長公式可得，利用基本不等式可得結果.

（1）設橢圓的標準方程為或，由題知，則，

∴橢圓的標準方程為或；

（2）①當直線的斜率不存在時，不妨設其方程為，則，所以.

②當直線的斜率存在時，設其方程為，并設，

則由得，即，

故，即

且，

由直線與“相關圓” 相切，得，即，

故

，

從而，即，

綜合上述，得為定值.

（3）由于，所以求的取值范圍，只需求出弦長的取值范圍.

當直線的斜率不存在時，由（2）的①，知；

當直線的斜率存在時，

.

①當時，；

②當時，因為，所以，

故，當且僅當時，，

于是的取值范圍為，因此的取值范圍為.