Question

若不等式|2x-1|+|x+2|≥a²+

1

2

a+2對任意實數x恒成立，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：選作題,不等式

分析：利用絕對值的幾何意義，確定|2x-1|+|x+2|的最小值，然后讓a²+

1

2

a+2小于等于它的最小值即可．

解答： 解：|2x-1|+|x+2|=

-3x-1，x＜-2 -x+3，-2≤x≤ 1 2 3x+1，x＞ 1 2

，
∴x=

1

2

時，|2x-1|+|x+2|的最小值為

5

2

，
∵不等式|2x-1|+|x+2|≥a²+

1

2

a+2對任意實數x恒成立，
∴a²+

1

2

a+2≤

5

2

，
∴a²+

1

2

a-

1

2

≤0，
∴-1≤a≤

1

2

，
∴實數a的取值范圍是[-1，

1

2

]．
故答案為：[-1，

1

2

]．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，突出考查一元二次不等式的解法及恒成立問題，屬于中檔題．