Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x﹣1）2+a（lnx﹣x+1）（其中a∈R，且a為常數(shù)） （Ⅰ）當(dāng)a=4時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對(duì)于任意的x∈（1，+∞），都有f（x）＞0成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若方程f（x）+a+1=0在x∈（1，2）上有且只有一個(gè)實(shí)根，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞） 由 ，
當(dāng)a=4時(shí)， ，
∴函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，（2，+∞）在上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）由
當(dāng)a≤2時(shí)，
∵f'（x）＞0對(duì)于x∈（1，+∞）恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增
∴f（x）＞f（1）=0，此時(shí)命題成立；
當(dāng)a＞2時(shí)，
∵f（x）在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，
∴當(dāng) 時(shí)，有f（x）＜f（1）=0．這與題設(shè)矛盾，不合．
故a的取值范圍是（﹣∞，2]；
（Ⅱ）依題意，設(shè)g（x）=f（x）+a+1，
原題即為若g（x）在（1，2）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．
顯然函數(shù)g（x）與f（x）的單調(diào)性是一致的．
當(dāng)a≤0時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)g（x）在（1，2）上遞增，
由題意可知 ，
解得 ；
當(dāng)a＞0時(shí)，因?yàn)間（x）=（x﹣1）2+alnx+（2﹣x）a+1，
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，總有g(shù)（x）＞0，此時(shí)方程沒(méi)有實(shí)根．
綜上所述，當(dāng) 時(shí)，方程f（x）+a+1=0在x∈（1，2）上有且只有一個(gè)實(shí)根．
【解析】（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出，（Ⅱ）分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而解得；（Ⅲ）依題意，設(shè)g（x）=f（x）+a+1，原題即為若g（x）在（1，2）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．顯然函數(shù)g（x）與f（x）的單調(diào)性是一致的，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)a＜0，即可得到可知 ，解得即可，當(dāng)a≥0，判斷此時(shí)方程沒(méi)有實(shí)根，問(wèn)題得以解決．