Question

已知橢圓的上頂點(diǎn)為,左焦點(diǎn)為,直線與圓相切.過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).
(I)求橢圓的方程;
(II)當(dāng)的面積達(dá)到最大時(shí),求直線的方程.

Answer 1

（1）（2）

試題分析：解:(I)將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,則圓的圓心,半徑.由得直線的方程為.
由直線與圓相切,得,
所以或(舍去).
當(dāng)時(shí),,
故橢圓的方程為.  5分
(II)由題意可知,直線的斜率存在,設(shè)直線的斜率為,
則直線的方程為.
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓中
所以對(duì)任意,直線都與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)
由得
設(shè)點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為，則


又因?yàn)辄c(diǎn)A到直線的距離
所以的面積為   10分
設(shè)，則且

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012651605233.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以當(dāng)時(shí),的面積達(dá)到最大,
此時(shí),即.
故當(dāng)的面積達(dá)到最大時(shí),直線的方程為. 12分
點(diǎn)評(píng)：本試題主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，屬于中檔題。