Question

已知函數f（x）=e^x-e^-x-2x．
（Ⅰ）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）設g（x）=f（2x）-4bf（x），當x＞0時，g（x）＞0，求b的最大值；
（Ⅲ）已知1.4142＜

2

＜1.4143，估計ln2的近似值（精確到0.001）．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：壓軸題,導數的綜合應用

分析：對第（Ⅰ）問，直接求導后，利用基本不等式可達到目的；
對第（Ⅱ）問，先驗證g（0）=0，只需說明g（x）在[0+∞）上為增函數即可，從而問題轉化為“判斷g′（x）＞0是否成立”的問題；
對第（Ⅲ）問，根據第（Ⅱ）問的結論，設法利用

2

的近似值，并尋求ln2，于是在b=2及b＞2的情況下分別計算g(ln

2

)，最后可估計ln2的近似值．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=e^x+e^-x-2≥2

ex•e-x

-2=0，
即f′（x）≥0，當且僅當e^x=e^-x即x=0時，f′（x）=0，
∴函數f（x）在R上為增函數．

（Ⅱ）g（x）=f（2x）-4bf（x）=e^2x-e^-2x-4b（e^x-e^-x）+（8b-4）x，
則g′（x）=2[e^2x+e^-2x-2b（e^x+e^-x）+（4b-2）]
=2[（e^x+e^-x）²-2b（e^x+e^-x）+（4b-4）]
=2（e^x+e^-x-2）（e^x+e^-x+2-2b）．
①∵e^x+e^-x≥2，e^x+e^-x+2≥4，
∴當2b≤4，即b≤2時，g′（x）≥0，當且僅當x=0時取等號，
從而g（x）在R上為增函數，而g（0）=0，
∴x＞0時，g（x）＞0，符合題意．
②當b＞2時，若x滿足2＜e^x+e^-x＜2b-2即

2＜ex+e-x ex+e-x＜2b-2

，得0＜x＜ln(b-1+

b2-2b

)，此時，g′（x）＜0，
又由g（0）=0知，當0＜x≤ln(b-1+

b2-2b

)時，g（x）＜0，不符合題意．
綜合①、②知，b≤2，得b的最大值為2．

（Ⅲ）∵1.4142＜

2

＜1.4143，根據（Ⅱ）中g（x）=e^2x-e^-2x-4b（e^x-e^-x）+（8b-4）x，
為了湊配ln2，并利用

2

的近似值，故將ln

2

即

1

2

ln2代入g（x）的解析式中，
得g(ln

2

)=

3

2

-2

2

b+2(2b-1)ln2．
當b=2時，由g（x）＞0，得g(ln

2

)=

3

2

-4

2

+6ln2＞0，
從而ln2＞

8 2 -3

12

＞

8×1.4142-3

12

=0.6928；
令ln(b-1+

b2-2b

)=ln

2

，得b=

3 2

4

+1＞2，當0＜x≤ln(b-1+

b2-2b

)時，
由g（x）＜0，得g(ln

2

)=-

3

2

-2

2

+(3

2

+2)ln2＜0，得ln2＜

18+ 2

28

＜

18+1.4143

28

＜0.6934．
所以ln2的近似值為0.693．

點評：1．本題三個小題的難度逐步增大，考查了學生對函數單調性深層次的把握能力，對思維的要求較高，屬壓軸題．
2．從求解過程來看，對導函數解析式的合理變形至關重要，因為這直接影響到對導數符號的判斷，是解決本題的一個重要突破口．
3．本題的難點在于如何尋求ln2，關鍵是根據第（2）問中g（x）的解析式探究b的值，從而獲得不等式，這樣自然地將不等式放縮為

2

的范圍的端點值，達到了估值的目的．