Question

已知函數f（x）=ae^2x-be^-2x-cx（a，b，c∈R）的導函數f′（x）為偶函數，且曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線的斜率為4-c．
（Ⅰ）確定a，b的值；
（Ⅱ）若c=3，判斷f（x）的單調性；
（Ⅲ）若f（x）有極值，求c的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）根據函數f（x）=ae^2x-be^-2x-cx（a，b，c∈R）的導函數f′（x）為偶函數，且曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線的斜率為4-c，構造關于a，b的方程，可得a，b的值；
（Ⅱ）將c=3代入，利用基本不等式可得f′（x）≥0恒成立，進而可得f（x）在定義域R為均增函數；
（Ⅲ）結合基本不等式，分c≤4時和c＞4時兩種情況討論f（x）極值的存在性，最后綜合討論結果，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數f（x）=ae^2x-be^-2x-cx（a，b，c∈R）
∴f′（x）=2ae^2x+2be^-2x-c，
由f′（x）為偶函數，可得2（a-b）（e^2x-e^-2x）=0，
即a=b，
又∵曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線的斜率為4-c，
即f′（0）=2a+2b-c=4-c，
故a=b=1；
（Ⅱ）當c=3時，f′（x）=2e^2x+2e^-2x-3≥2

2e2x•2e-2x

-3=1＞0恒成立，
故f（x）在定義域R為均增函數；
（Ⅲ）由（Ⅰ）得f′（x）=2e^2x+2e^-2x-c，
而2e^2x+2e^-2x≥2

2e2x•2e-2x

=4，當且僅當x=0時取等號，
當c≤4時，f′（x）≥0恒成立，故f（x）無極值；
當c＞4時，令t=e^2x，方程2t+

2

t

-c=0的兩根均為正，
即f′（x）=0有兩個根x₁，x₂，
當x∈（x₁，x₂）時，f′（x）＜0，當x∈（-∞x₁）∪（x₂，+∞）時，f′（x）＞0，
故當x=x₁，或x=x₂時，f（x）有極值，
綜上，若f（x）有極值，c的取值范圍為（4，+∞）．

點評：本題考查的知識點是利用導數研究曲線上某點切線方程，利用導數研究函數的單調性，是導數的綜合應用，難度中檔．