Question

根據(jù)條件，分別求出橢圓的方程：
（1）中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，離心率為

1

2

，長軸長為8；
（2）中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在x軸上，短軸的一個(gè)頂點(diǎn)B與兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂組成的三角形的周長為4+2

3

，且∠F1BF2=

2π

3

．

Answer 1

分析：（1）先求出橢圓中的長半軸長和短半軸長，再判斷焦點(diǎn)位置，因?yàn)榻裹c(diǎn)位置不確定，所以求出的橢圓方程有兩種形式．
（2）結(jié)合函數(shù)圖形，通過直角三角形△F₂OB推出a，c的關(guān)系，利用周長得到第二個(gè)關(guān)系，求出a，c然后求出b，求出橢圓的方程．

解答：解：（1）∵橢圓的長軸長為8，即2a=8，
∴a=4，∵離心率為

1

2

，即e=

c

a

=

1

2

，∴c=2
∵b²=a²-c²，∴b²=16-4=12，
當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1
當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓方程為

y2

16

+

x2

12

=1．
所求橢圓方程為：

x2

16

+

y2

12

=1或

y2

16

+

x2

12

=1
（2）設(shè)長軸為2a，焦距為2c，則在△F₂OB中，由∠F2BO=

π

3

得：c=

3

2

a，
所以△F₂OF₁的周長為：2a+2c=4+2

3

，∴a=2，c=

3

，∴b²=1
故得：

x2

4

+y2=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查考察查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，關(guān)鍵是求出a，b的值，易錯(cuò)點(diǎn)是沒有判斷焦點(diǎn)位置．