Question

已知數列{a_n}，其前n項和為Sn=

3

2

n2+

7

2

n (n∈N*)．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式，并證明數列{a_n}是等差數列；
（Ⅱ）如果數列{b_n}滿足a_n=log₂b_n，請證明數列{b_n}是等比數列，并求其前n項和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當n=1時，求得a₁，n≥2時，a_n=s_n-s_n-1，驗證后合并可得a_n的通項公式；利用等差數列的定義證明即可．
（Ⅱ）利用數列{b_n}滿足a_n=log₂b_n，求出它的通項公式，利用等比數列的定義證明數列{b_n}是等比數列，利用求和公式求其前n項和．

解答：解：（Ⅰ）由已知得n=1，a₁=s₁=5，
 n≥2，a_n=s_n-s_n-1=（

3

2

n2+

7

2

n）-[

3

2

(n-1)2+

7

2

(n-1)]
=3n+2，
 n=1時滿足上式，所以a_n=3n+2．
因為a_n+1-a_n=3（n+1）+2-3n-2=3．
所以{a_n}是以5為首項，3為公差的等差數列．
（Ⅱ）數列{b_n}滿足a_n=log₂b_n，
所以b_n=2³ⁿ⁺²，
因為

bn+1

bn

=

23n+5

23n+2

=8，
所以數列數列{b_n}是以b₁=32為首項，8為公比的等比數列．
其前n項和為：

32(1-8n)

1-8

=

23n+5-32

7

．

點評：本題主要考查求數列的通項公式以及求和，考查學生的推理與運算能力，是中檔題．