Question

設函數f（x）=x|x|+bx+c（x∈R）給出下列4個命題：
①當b=0，c=0時，f（x）=0只有一個實數根；   
②當c=0時，y=f（x）是偶函數；
③函數y=f（x）的圖象關于點（0，c）對稱；
④當b≠0，c≠0時，方程f（x）=0有兩個實數根．
上述命題中，所有正確命題的個數是

2個

．

Answer 1

分析：根據題意，依次分析四個命題：①當b=0，c=0時，f（x）=x|x|=0只有一個實數根0；   ②當c=0時，y=f（x）=x|x|+bx是奇函數；③設g（x）=x|x|+bx，因為g（-x）=-x|-x|+b（-x）=-g（x），所以g（x）=x|x|+bx關于（0，0）對稱，又函數y=f（x）的圖象可以由g（x）=x|x|+bx的圖象上下平移c個單位得到．故函數y=f（x）的圖象關于點（0，c）對稱；④當c=0，b＜0時，f（x）=x|x|+bx=

x2+bx，x≥0 -x2+bx，x＜0

，方程f（x）=0可以有三個實數根．

解答：解：由f（x）=x|x|+bx+c（x∈R），知：
①當b=0，c=0時，f（x）=x|x|=0只有一個實數根0，故①正確；   
②當c=0時，y=f（x）=x|x|+bx是奇函數，故②不正確；
③設g（x）=x|x|+bx，因為g（-x）=-x|-x|+b（-x）=-g（x），所以g（x）=x|x|+bx關于（0，0）對稱，又函數y=f（x）的圖象可以由g（x）=x|x|+bx的圖象上下平移c個單位得到．故函數y=f（x）的圖象關于點（0，c）對稱，故③正確；
④當c=0，b＜0時，如圖②，f（x）=x|x|+bx=

x2+bx，x≥0 -x2+bx，x＜0

，方程f（x）=0可以有三個實數根．
故④不成立．

故答案為：2個．

點評：本題考查真假命題的判斷、函數的奇偶性，方程根的個數判斷，體現了數形結合的數學思想．