Question

【題目】已知橢圓系方程： (， )， 是橢圓的焦點， 是橢圓上一點，且.

（1）求的離心率并求出的方程；

（2）為橢圓上任意一點，過且與橢圓相切的直線與橢圓交于， 兩點，點關于原點的對稱點為，求證： 的面積為定值，并求出這個定值．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）.

【解析】試題分析：（1）由橢圓的方程為： ，由,∴， 可得的值，得到橢圓方程；

（2）由距離公式得到點到直線的距離，由弦長公式得到的面積為，即可得到面積為定值，得到證明．

試題解析：

（1）橢圓的方程為： ： 即：

∵．∴，又

即： 又

,∴橢圓的方程為：

∴，∴ ∴橢圓的方程為：；

（2）解法（一）：設，則

當直線l斜率存在時，設l為： ,

則，由聯立得：

由得

到直線的距離

同理，由聯立得：

，

當直線l斜率不存在時，易知， 的面積為定值

解法（二）：設，由（1）得為： ，

∴過且與橢圓相切的直線l： ．且

點關于原點對稱點，點到直線l的距離

設，

由得

， ，∴

∴的面積為 （定值）

當時，易知，

綜上： 的面積為定值．