Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，點D是AB的中點．

（1）求證：AC1∥平面CDB1
（2）求證：AC⊥BC1
（3）求直線AB1與平面BB1C1C所成的角的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖：

設BC1∩B1C=O，則O為BC1的中點，連接OD，

∵D為AB的中點，∴OD∥AC1，

又∵OD平面CDB1，AC1平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1．

（2）解：∵AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．

又∵C1C∥AA1，AA1⊥底面ABC，∴C1C⊥底面ABC，∴AC⊥CC1．

又BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1．

而BC1平面BCC1B1，∴AC⊥BC1．

（3）解：由（2）得AC⊥平面B1BCC1，

∴直線B1C是斜線AB1在平面B1BCC1上的射影，

∴∠AB1C是直線AB1與平面B1BCC1所成的角，

在RT△AB1C中，B1C=4 ，AC=3，

∴tan∠AB1C= = ，

直線AB1與平面BB1C1C所成的角的正切值為 ．

【解析】（1）設BC1∩B1C=O，由三角形的中位線性質可得OD∥AC1 ， 從而利用線面平行的判定定理證明AC1∥平面CDB1 ， （2）利用勾股定理證明AC⊥BC，證明C1C⊥底面ABC，可得AC⊥CC1 ， 由線面垂直的判定定理證得AC⊥平面BCC1B1 ， 從而證得AC⊥BC1 ． （3）得到∠AB1C是直線AB1與平面B1BCC1所成的角，解三角形即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識，掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點，以及對直線與平面平行的判定的理解，了解平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．