Question

設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且a≠b，①a⁵+b⁵＞a³b²+a²b³，②a²+b²≥2（a-b-1），③

a

b

+

b

a

＞2．上述三個(gè)式子恒成立的有（　　）

• A、0個(gè)
• B、1個(gè)
• C、2個(gè)
• D、3個(gè)

Answer 1

分析：對于①，欲證a⁵+b⁵＞a²b³+a³b²，只要證a⁵+b⁵-a²b³+a³b²＞0即可，移項(xiàng)后利用二次式的配方法即可；對于②，左右作差后配成完全平方后即得；對于③，因?yàn)閍，b不一定是同號，不能直接利用基本不等式得到．

解答：解：①a⁵+b⁵-a³b²-a²b³=a³（a²-b²）+b³（b²-a²）
=（a²-b²）（a³-b³）=（a+b）（a-b）²（a²+ab+b²）．
∵（a-b）²≥0，a²+ab+b²≥0，但a+b符號不確定，
∴a⁵+b⁵＞a³b²+a²b³不正確；
故從條件來看，①不一定成立；
②a²+b²-2a+2b+2=（a-1）²+（b+1）²≥0，
∴a²+b²≥2（a-b-1）；成立；
③因?yàn)閍，b不一定是同號，

a

b

+

b

a

＞2不正確．
正確的為：②．
故選B．

點(diǎn)評：本題主要考查了不等式，涉及到基本不等式、作差比較法、二次函數(shù)的配方法等，屬于基礎(chǔ)題．本題主要考查不等式的證明，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、某些已經(jīng)證明過的不等式及不等式的性質(zhì)經(jīng)過一系列的推理、論證等而推導(dǎo)出所要證明的不等式，這個(gè)證明方法叫綜合法．