Question

設正項等比數列{a_n}的首項為a₁，公比為q（n∈N*）．
（1）證明：數列{lna_n}是等差數列；
（2）對給定的正整數和正數M，對滿足條件a1lna1•am+1lnam+1≤M的所有數列{a_n}，求當T=a_m+1•a_m+2…a_2m+1取最大值時數列{a_n}的通項公式a_n．

Answer 1

分析：（1）先確定等比數列{a_n}的通項，再取自然對數，即可證得結論；
（2）對T=a_m+1•a_m+2…a_2m+1，兩邊取自然對數，求和，再進行換元，條件兩邊取自然對數，代入利用根的判別式，即可求得結論．

解答：（1）證明：∵正項等比數列{a_n}的首項為a₁，公比為q，∴a_n=a₁q^n-1，
∴lna_n=lna₁+（n-1）lnq，∴lna_n+1-lna_n=lnq，∴數列{lna_n}是等差數列；
（2）解：由（1）知，lna_n=lna₁+（n-1）lnq
由T=a_m+1•a_m+2…a_2m+1，可得lnT=lna_m+1+lna_m+2…+lna_2m+1=

1

2

（m+1）（lna_m+1+lna_2m+1）=

1

2

（m+1）（2lna₁+3mlnq）
令2lna₁+3mlnq=t，則mlnq=

1

3

（t-2lna₁）
∵a1lna1•am+1lnam+1≤M
∴(lna1)2+(lnam+1)2≤lnM
∴10ln²a₁-2tlna₁+t²-9lnM≤0
∴△=4t²-40（t²-9lnM）≥0
∴-

10lnM

≤t≤

10lnM

∴當t=

10lnM

時，lnT最大，T最大，此時lna₁=

10lnM

10

，lnq=

4 10lnM

15m

∴a1=e

10lnM

10

，q=e

4 10lnM

15m

∴a_n=e

4(n-1) 10lnM

15m

+

10lnM

10

點評：本題考查等差數列的證明，考查等比數列的求和，考查學生分析解決問題的能力，屬于難題．