Question

定義一種新運算*，滿足n*k=nλ^k-1（n，k∈N^*λ為非零常數）．
（1）對于任意給定的k，設a_n=n*k（n=1，2，3，…），證明：數列{a_n}是等差數列；
（2）對于任意給定的n，設b_k=n*k（k=1，2，3…），證明：數列{b_k}是等比數列；
（3）設c_n=n*n（n=1，2，3，..），試求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

（1）證明：∵n*k=nλ^k-1（n，k∈N^*λ為非零常數），
∴a_n=n*k=nλ^k-1（n=1，2，3，…），
∴a_n+1-a_n=（n+1）λ^k-1-nλ^k-1=λ^k-1．
∵k，λ為非零常數，∴數列{a_n}是等差數列．
（2）證明：∵n*k=nλ^k-1（n，k∈N^*，λ為非零常數），
∴b_k=n*k=nλ^k-1（k=1，2，3，…），
∴

bk+1

bk

=

nλk

nλk-1

=λ．
∵λ為非零常數，
∴數列{b_k}是等比數列．
（3）∵n*k=nλ^k-1（n，k∈N^*，λ為非零常數），
∴n*n=nλ^n-1．
則S_n=c₁+c₂+…+c_n=λ⁰+2λ+3λ²+…+nλ^n-1，
①當λ=1時，Sn=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

．
②當λ≠1時，λS_n=λ+2λ²+3λ³+…+nλⁿ．
①-②得：（1-λ）S_n=1+λ+λ²+…+λ^n-1-nλⁿ，
∴S_n=

1-λn

(1-λ)2

-

nλn

1-λ

，
綜上可知，S_n=

n(n+1) 2 ，當λ=1時 1-λn (1-λ)2 - nλn 1-λ ，當λ≠1時

．