Question

【題目】設(shè)復(fù)平面，分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)，已知，且為常數(shù)）.

（1）設(shè),用數(shù)學(xué)歸納法證明：；

（2）寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）求.

Answer 1

【答案】(1) 證明見(jiàn)解析;(2);(3)

【解析】

(1)根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明過(guò)程,先證明當(dāng)時(shí)等式成立,再假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立,來(lái)證明時(shí)成立即可.

(2)將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)可得,根據(jù)等比數(shù)列定義可知公比.進(jìn)而由等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(3)根據(jù)題意先求得及,再求得與,由數(shù)列的性質(zhì)即可求得的值.

(1)證明:當(dāng)時(shí),等式左邊

等式右邊

左邊=右邊

所以當(dāng)時(shí)等式成立

假設(shè)當(dāng)是等式成立,即

則當(dāng)時(shí)

即當(dāng)時(shí)等式也成立

綜上可知,對(duì)于,等式成立

(2)因?yàn)?/span>

且為常數(shù)

所以數(shù)列是以首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為

(3)因?yàn)?/span>

所以

而

所以

所以