Question

【題目】已知函數f(x)＝x2－ax，g(x)＝lnx，h(x)＝f(x)＋g(x)．

(1)若函數y＝h(x)的單調減區間是，求實數a的值；

(2)若f(x)≥g(x)對于定義域內的任意x恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) a＝3.(2) (－∞，1]．

【解析】試題分析：（1）對函數求導，已知單調性減區間，故1和是導函數的兩個變號根，h′(1)＝h′＝0，解得a＝3，這時只需檢驗一下在x∈時導函數是否小于0即可；（2）原不等式轉化為a≤x－ (x>0)恒成立，研究φ(x)＝x－的單調性，求得該函數的最小值即可.

解析：

(1)由題意可知，h(x)＝x2－ax＋lnx(x>0)，

由h′(x)＝ (x>0)，

若h(x)的單調減區間是，

由h′(1)＝h′＝0，解得a＝3，

而當a＝3時，h′(x)＝＝ (x>0)．

由h′(x)<0，解得x∈，

即h(x)的單調減區間是，

∴a＝3.

(2)由題意知x2－ax≥lnx(x>0)，

∴a≤x－ (x>0)．

令φ(x)＝x－ (x>0)，

則φ′(x)＝，

∵y＝x2＋lnx－1在(0，＋∞)上是增函數，且x＝1時，y＝0.

∴當x∈(0,1)時，φ′(x)<0；

當x∈(1，＋∞)時，φ′(x)>0，

即φ(x)在(0,1)上是減函數，在(1，＋∞)上是增函數，

∴φ(x)min＝φ(1)＝1，故a≤1.

即實數a的取值范圍為(－∞，1]．