Question

【題目】已知函數f(x)＝ (a<0)．

(1)當a＝－1時，求函數f(x)的極值；

(2)若函數F(x)＝f(x)＋1沒有零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)極小值為f(2)＝－，無極大值．(2) (－e2,0)．

【解析】試題分析：（1）將參數值代入得到表達式，根據極值的定義得到函數f(x)的極小值為f(2)＝－；（2）研究函數的F(x)＝f(x)＋1單調性，畫出函數的大概變化趨勢，使得函數和x軸沒有交點即可。

解析：

(1)當a＝－1時，f(x)＝，f′(x)＝.

由f′(x)＝0，得x＝2.

當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，2)	2	(2，＋∞)
f′(x)	－	0	＋
f(x)	?	極小值	?

所以，函數f(x)的極小值為f(2)＝－，函數f(x)無極大值．

(2)F′(x)＝f′(x)＝＝.

當a<0時，F′(x)，F(x)隨x的變化情況如下表：

x	(－∞，2)	2	(2，＋∞)
F′(x)	－	0	＋
F(x)	?	極小值	?

若使函數F(x)沒有零點，當且僅當F(2)＝＋1>0，

解得a>－e2，所以此時－e2<a<0.

故實數a的取值范圍為(－e2,0)．