Question

觀察如圖三角形數表：
假設第n行的第二個數為a_n（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）依次寫出第六行的所有6個數字；
（Ⅱ）歸納出a_n+1與a_n的關系式并求出a_n的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）依據“中間的數從第三行起，每一個數等于它兩肩上的數之和”，得到第六行的所有6個數字．
（2）依據“中間的數從第三行起，每一個數等于它兩肩上的數之和”，則第二個數等于上一行第一個數與第二個數的和，即有a_n+1=a_n+n（n≥2），再由累加法求解．
解答：解：（Ⅰ）依據“中間的數從第三行起，每一個數等于它兩肩上的數之和”，
得到第六行的所有6個數字分別為：6，16，25，25，16，6．
（Ⅱ）依題意a_n+1=a_n+n（n≥2），a₂=2．
所以：a₃-a₂=2，a₄-a₃=3，a_n-a_n-1=n-1，
累加得a_n-a₂=2+3+…+（n-1）=，
所以a_n=-+1，（n＞2）
當n=2時a₂=×2²-×2+1=2，也滿足上述等式，
故a_n=-+1．
點評：本題通過三角數表構造了一系列數列，考查了數列的通項及求和的方法，還考查了數列間的關系，入題較難，知識點，方法活，屬中檔題．