Question

如圖，在△ABC中，已知AB=3，AC=6，BC=7，AD是∠BAC平分線，則

AB

•

DC

的值為

-

22

3

．

Answer 1

分析：將向量

AD

，

BC

，用基向量

AB

，

AC

表示出來，再進行數(shù)量積運算，求

AB

•

DC

的值．

解答：解：∵AB=3，AC=6，BC=7，AD是∠BAC平分線
由角平分線的性質可知，

AB

AC

=

BD

DC

=

3

6

=

1

2

由余弦定理可得，cosA=

AB2+AC2-BC2

2AB•AC

=

9+36-49

2×3×6

=-

1

9

由向量的數(shù)量積可得，

AB

•

AC

=|

AB

||

AC

|cosA=3×6×(-

1

9

)=-2
∵

DC

=

2

3

BC

=

2

3

(

AC

-

AB

)
∴

AB

•

DC

=

2

3

AB

•(

AC

-

AB

)=

2

3

(

AC

•

AB

-

AB

2)=

2

3

(-2-9)=-

22

3

故答案為：-

22

3

點評：本題主要考查余弦定理和向量數(shù)量積的應用．向量和三角函數(shù)的綜合題是高考熱點，要給予重視．