Question

已知向量a(

3

cosωx，sinωx)，b（sinωx，0），且ω＞0，設函數f（x）=（a+b）•b+k．
（1）若f（x）的圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離不小于

π

2

，求ω的取值范圍．
（2）若f（x）的最小正周期為π，且當x∈[-

π

6

，

π

6

]時，f（x）的最大值是2，求就k的值．

Answer 1

分析：由

a

和

b

的坐標求出

a

+

b

的坐標，進而利用平面向量的數量積運算法則算出（

a

+

b

）•

b

的值，把f（x）的解析式變形，再利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，從而利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，
（1）找出ω的值，代入周期公式求出f（x）的周期，根據f（x）的圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離不小于

π

2

，得到周期的一半大于等于

π

2

，再由ω＞0即可求出ω的取值范圍；
（2）由f（x）的最小正周期為π求出ω的值，代入f（x）的解析式，根據x的范圍求出2x-

π

6

范圍，根據正弦函數的圖象與性質得到f（x）取得最大值時x的值，把求出x的值及f（x）的最大值為2代入f（x）解析式，即可求出k的值．

解答：解：∵

a

(

3

cosωx，sinωx)，

b

（sinωx，0），
∴

a

+

b

=（

3

cosωx+sinωx，sinωx），
∴f（x）=

3

sinωxcosωx+sin²ωx+k
=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

+k
=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

+k，
（1）由題意得：T=

2π

2ω

=

π

ω

，
∴

T

2

=

π

2ω

≥

π

2

，∴ω≤1，又ω＞0，
則ω的取值范圍0＜ω≤1；
（2）∵T=π，∴

π

ω

=π，即ω=1，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）+

1

2

+k，
∵x∈[-

π

6

，

π

6

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

2

，

π

6

]，
則當2x-

π

6

=

π

6

，即x=

π

6

時，f（x）取得最大值，
∴f（

π

6

）=2，及sin（2×

π

6

-

π

6

）+

1

2

+k=2，
解得：k=1．

點評：此題考查了三角函數的恒等變形，平面向量的數量積運算，三角函數的周期性及其求法，以及正弦函數的圖象與性質，其中利用三角函數的恒等變換及平面向量的數量積運算法則把f（x）的解析式化為一個角的正弦函數是解本題的關鍵．