Question

(本題滿分16分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓(a＞b＞0)的離心率為，其焦點在圓x²+y²=1上．

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)A，B，M是橢圓上的三點(異于橢圓頂點)，且存在銳角θ，使

．

       (i)求證：直線OA與OB的斜率之積為定值；

(ii)求OA²+OB²．

Answer 1

解：

(1)依題意，得  c=1．于是，a=，b=1．     ……………………………………2分

所以所求橢圓的方程為． ………………………………………………4分

(2) (i)設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則①，②．

又設(shè)M(x，y)，因，故 …………7分

因M在橢圓上，故．

整理得．

將①②代入上式，并注意，得  ．

所以，為定值． ………………………………………………10分

(ii)，故．

又，故．

所以，OA²+OB²==3．  …………………………………………16分