Question

（本小題滿分12分）

設函數f（x）=x³+ax²-9x-1 （a<0）,若曲線y=f（x）的斜率最小的切線與直線12x+y=6平行．

   （1）求a的值;

   （2）求函數f（x）的單調區間．m

Answer 1

解(1) =3x²+2ax-9        …………………………………2分

因為斜率最小的切線與直線12x+y=6平行,

即該切線的斜率為-12,

所以 ,a=±3 又a<0， 所以a=-3……………………………6分

(2)   由(1)知a=-3，f(x)=x³-3x²-9x-1

=3x²-6x-9=3(x-3)(x+1)

令=，解之得x₁=-1, x₂=3

當x∈(-∞,-1)時, >0, 在(-∞,-1)是增函數；

當x∈(-1,3)時, <0, 在(-1,3)是減函數；

當x∈(3,+∞)時, >0 , 在(3,+∞)是增函數；

所以函數f(x)的單調遞增區間為 (-∞,-1)和(3,+∞)；

單調遞減區間為(-1,3).                     …………………………………12分