Question

已知定義域在R上的單調函數y=f（x），存在實數x，使得對于任意的實數x₁，x₂，總有f（xx₁+xx₂）=f（x）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．
（1）求x的值；
（2）若f（x）=1，且對任意正整數n，有a_n=，b_n=f（）+1，記T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，求a_n與T_n；
（3）在（2）的條件下，若不等式對任意不小于2的正整數n都成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用賦值法，先令 x₁=x₂=0，再令x₁=1，x₂=0，代入已知恒等式即可；
（2）確定f（n）=2n-1，可求a_n，證明數列{b_n}為等比數列，利用等比數列前n項和公式即可求得T_n；
（3）令F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n，當n≥2時，F（n）＞F（n-1）＞…＞F（2），從而可得不等式組，即可求實數x的取值范圍．
解答：解：（1）令x₁=x₂=0，得f（0）=f（x）+2f（0），∴f（x）=-f（0）①
令x₁=1，x₂=0，得f（x）=f（x）+f（1）+f（0），∴f（1）=-f（0）②
由①②得f（x）=f（1）
又∵f（x）是單調函數，
∴x=1；
（2）由（1）可得 f（x₁+x₂）=f（1）+f（x₁）+f（x₂）+1
則f（n+1）=f（n）+f（1）+1=f（n）+2
又∵f（1）=1
∴f（n）=2n-1（n∈N^*），
∴a_n=
∵f（1）=f（+）=f（）+f（）+f（1），
∴f（）=0，∴b₁=f（）+1=1
∵
∴
∴
∴T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1=
（3）令F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n
則F（n+1）-F（n）=＞0
當n≥2時，F（n）＞F（n-1）＞…＞F（2）=a₃+a₄=
∴
即
∴，解得或
故
點評：本題考查了函數與數列的綜合應用能力，抽象函數表達式的應用，等差等比數列的定義，等比數列的前n項和公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．